Швы между плиткой - течёт краска с затирки

А как затирка называется? Может мешочек или ведёрко осталось?
Затирку сами колеровали? Добавляли колера, чтоб цвет пооранжевее был?
Если затирка просто минеральная - бетон на минеральном вяжущем, порошочке цемента, в котором наполнители порошочек песка и порошочек минерального красителя - всё молотые камни, и добавили много наполнителя, относительного вяжущего, то бетон мог получится слабой прочности, и вымывается это не краска из затирки, а сама затирка.
Ещё могла затирка быстро воду потерять (плитка пористая, и швы перед затиркой не смачивали обильно) и на схватывание у цемента не хватило времени. В таком случае, она сможет ещё немного окрепнуть, если подержать её во влажном состоянии - помочить швы губкой/из душа, на впитывание, несколько раз в течении нескольких дней.
Есть сейчас затирки полимер-цементные, там в бетон добавлено много модификаторов, и "ведёт" она себя не так, как обычный цементный раствор. Её, наверняка, ещё проще испортить нарушением инструкции нанесения, или добавлением в неё компонентов от своей души.
Выколупывать, конечно, не желательно. Очень легко наколоть глазурь плитки по углам и краешкам. Деревянным/пластиковым инструментом ковырять её долго и тяжело, а металлическим плитка накалывается.
Есть пропитки для минеральной затирки специальные. Но они скорее гидрофобизирущие и для блеска. Сильно они не упрочнят. И они деградируют. Надо раз в 1-3 года обновлять.
Если Вам нужен насыщенный цвет, то лучше сразу брать затирки на полимерных вяжущих, на эпоксидной смоле, например. Там можно получить любой цвет и тон, и даже флуорисцирующих блёсток добавить - она всегда будет одинаково прочной.

 

Ну если ногтём не ковыряется, то може перестанет пачкаться, как смоется.
Спросите в строймагазине пропитку для швов, помалюйте кисточкой аккуратно, но чтоб впитывалась, побогаче. Лучше в два слоя с перерывом в сутки.
Оно там, конечно, такая же эмульсия смолы, что и в грунтовке, как @Vladlen, писал. Но может добавили чего то, для лучшей стойкости к истиранию, и блеска. Тут, думаю, лучше переплатить чуть, за "для швов".