День числа ПІ

Тема у розділі 'Курилка, болталка', створена користувачем gogelo, 14 бер 2011.

  1. gogelo

    gogelo Бригадир

    Повідомлення:
    510
    Симпатії:
    230
    Адреса:
    львів
    Сьогодні у світі відзначають День числа ПІ. По іншому 3.14(скорочена версія:))

    Тому прийміть мої вітання всі поціновувачі точних наук.:Hi:
     
    3 користувачам це сподобалось.
  2. SanyCD

    SanyCD Бригадир

    Повідомлення:
    866
    Симпатії:
    217
    Адреса:
    UA
    Re: День числа ПІ.

    Очень нужное число... Часто использую.

    п.с. Строю не ракеты, поэтому для меня достаточно 3.1416
     
  3. Анатолич

    Анатолич Заслужений майстер

    Повідомлення:
    1.957
    Симпатії:
    686
    Це майже наше національне свято, в нас все і так 3,14...
    Проте приєднуюсь до привітань!
     
  4. Влад_@

    Влад_@ Наймолодший мастер

    Повідомлення:
    3.758
    Симпатії:
    1.706
    Адреса:
    Луцький р-н
    Всіх з таким святом!
    Вот трохи інформації про це число рекомендую почитати;-)
    Істория числа p, выражающего отношение длины окружности к её диаметру, началась в Древнем Египте. Площадь круга диаметром d египетские математики определяли как (d-d/9)2 (эта запись дана здесь в современных символах). Из приведенного выражения можно заключить, что в то время число p считали равным дроби (16/9)2, или 256/81, т.е. p = 3,160...
    В священной книге джайнизма (одной из древнейших религий, существовавших в Индии и возникшей в VI в. до н.э.) имеется указание, из которого следует, что число p в то время принимали равным , что даёт дробь 3,162...
    Древние греки Евдокс, Гиппократ и другие измерение окружности сводили к построению отрезка, а измерение круга - к построению равновеликого квадрата. Следует заметить, что на протяжении многих столетий математики разных стран и народов пытались выразить отношение длины окружности к диаметру рациональным числом.
    рхимед в III в. до н.э. обосновал в своей небольшой работе "Измерение круга" триположения:
    сякий круг равновелик прямоугольному треугольнику, катеты которого соответственно равны длине окружности и её радиусу;
    лощади круга относятся к квадрату, построенному на диаметре, как 11 к 14;
    тношение любой окружности к её диаметру меньше 3 1/7 и больше 3 10/71.
    оследнее предложение Архимед обосновал последовательным вычислением периметров правильных вписанных и описанных многоугольников при удвоении числа их сторон. Сначала он удвоил число сторон правильных описанного и вписанного шестиугольников, затем двенадцатиугольников и т.д., доведя вычисления до периметров правильного вписанного и описанного многоугольников с 96 сторономи. По точным расчётам Архимеда отношение окружности к диаметру заключено между числами 3*10/71 и 3*1/7, а это означает, что p = 3,1419... Истинное значение этого отношения 3,1415922653...
    В V в. до н.э. китайским математиком Цзу Чунчжи было найдено более точное значение этого числа: 3,1415927...
    Впервой половине XV в. обсерватории Улугбека, возле Самарканда, астроном и математик ал-Каши вычислил p с 16 десятичными знаками. Он сделал 27 удвоений числа сторон многоугольников и дошёл до многоугольника, имеющего 3*228 углов. Ал-Каши произвёл уникальные расчёты, которые были нужны для составления таблицы синусов с шагом в 1'. Эти таблицы сыграли важную роль в астрономии.
    Спустя полтора столетия в Европе Ф.Виет нашёл число p только с 9 правильными десятичными знаками, сделав 16 удвоений числа сторон многоугольников. Но при этом Ф.Виет первым заметил, что p можно отыскать, исользуя пределы некоторых рядов. Это открытие имело большое значение, так как позволило вычислить p с какой угодно точностью. Только через 250 лет после ал-Каши его результат был превзойдён.
    Первым ввёл обозначение отношения длины окружности к диаметру современным символом p английский математик У.Джонсон в 1706 г. В качестве символа он взял первую букву греческого слова "periferia", что в переводе означает "окружность". Введённое У.Джонсоном обозначение стало обшеупотребительным после опубликования работ Л.Эйлера, который воспользовался введённым символом впервые в 1736 г.
    В конце XVIII в. А.М.Лажандр на основе работ И.Г.Ламберта доказал, что число p иррационально. Затем немецкий математик Ф.Линдеман, опираясь на исследования Ш.Эрмита, нашёл строгое доказательство того, что это число не только иррационально, но и трансцендентно, т.е. не может быть корнем алгебраического уравнения. Из последнего следует, что с помощью только циркуля и линейки построить отрезок, равный по длине окружности, н е в о з м о ж н о, а следовательно, не существует решения задачи о квадратуре круга.
    Поиски точного выражения p продолжались и после работ Ф.Виета. В начале XVII в. голландский математик из Кёльна Лудольф ван Цейлен (1540-1610) (некоторое историки его называют Л.ван Кейлен) нашёл 32 правильных знака. С тех пор (год публикации 1615) значение числа p с 32 десятичными знаками получило название числа Лудольфа.
    К концу XIX в., после 20 лет упорного труда, англичанин Вильям Шенкс нашёл 707 знаков числа p. Однако в 1945 г. обнаружено с помощью ЭВМ, что Шенкс в своих вычислениях допустил ошибку в 520-м знаке и дальнейшие его вычисления оказались неверными.
    После разработки методов дифференциального и интегрального исчисления было найдено много формул, которые содержат число "пи". Некоторые из этих формул позволяют вычислить "пи" приёмами, отличными от метода Архимеда и более рациональными. Например, к числу "пи" можно прийти, отыскивая пределы некоторых рядов. Так, Г.Лейбниц (1646-1716) получил в 1674 г. ряд
    -1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+... =p/4,
    оторый дал возможность вычислить p более коротким путём, нежели Архимед. Всё же указанный ряд сходится очень медленно и поэтому требует довольно продолжительных расчётов. Для вычисления "пи" удобнее использовать ряд, получаемый от разложения arctgx при значении x=1/, при котором разложение функции arctg 1/=p/6 в ряд даёт равенство
    p/6 = 1/[1 - 1/3*1/3 + 1/5 * (1/3)2 - 1/7 * (1/3)3 + ...],
    т.е.
    p = 2[1 - 1/9 + 1/5 * (1/3)2 - 1/7 * (1/3)3 + ...]
    астично суммы этого ряда можно вычислять по формуле
    n+1 = Sn + (2)/(2n+1) * (-1/3)n,
    ри этом "пи" будет ограничено двойным неравенством:
    2n < p < S2n+1
    щё более удобную формулу для вычисления p получил Дж.Мачин. Пользуясь этой формулой, он вычислил p (в 1706 г.) с точностью до 100 верных знаков. Хорошее приближение для "пи" даёт выражение
    = +
    днако следует помнить, что это равенство надо рассматривать как приближённое, т.к. правая часть его - число алгебраическое, а левая - трансцендентное, следовательно, эти числа равными быть не могут.
    Как указала в своих статьях Э.Я.Бахмутская (60-ые годы XX столетия), ещё в XV-XVI вв. южноиндийские учёные, в том числе Нилаканта, пользуясь приёмами приближённых вычислений числа p, нашли способ разложения arctgx в степенной ряд, подобный ряду, найденному Лейбницем. Индийские математики дали словесную формулировку правил для разложения в ряды синуса и косинуса. Этим они предвосхитили открытие европейских математиков XVII в. Тем не менее их изолированные и ограниченные практическими потребностями вычислительные работы никакого влияния на дальнейшее развитие науки не оказали.
    В наше время труд вычислителей заменили ЭВМ. С их помощью число "пи" вычислено с точностью более миллиона знаков после запятой, причём эти вычисления продолжались только несколько часов.
    В современной математике число p - это не только отношение длины окружности к диаметру, оно входит в большое число различных формул, в том числе и в формулы неевклидовой геометрии, и формулу Л.Эйлера, которая устанавливает связь числа p и числа e следующим образом:
    2 pi = 1, где i = .
    та и другие взаимозависимости позволили математикам ещё глубже выяснить природу числа p.
     

Поділитися цією сторінкою